余代数のイデアルと剰余余代数

Author: mathmathniconico

Last Update: April 22, 2019

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剰余余代数

RRを可換環、(C,Δ,ε)( C, \Delta, \varepsilon )を余代数とする。CCRR加群なので、部分加群NCN\subset Cに対して剰余加群C/NC/Nを考えることができる。

C/NC/Nはいつ自然な余代数の構造を持つだろうか。

まず双線型写像C×CC/NC/NC\times C\rightarrow C/N\otimes C/Nから、テンソル積の普遍性より線型写像

π ⁣:CCC/NC/N\pi\colon C\otimes C\rightarrow C/N\otimes C/N

が誘導される。よってπΔ ⁣:CC/NC/N\pi\circ\Delta\colon C\rightarrow C/N\otimes C/Nの商が取れればよい。つまり

NKer(πΔ)Δ(N)Ker(π)N\subset\mathrm{Ker}( \pi\circ\Delta )\Longleftrightarrow\Delta( N )\subset\mathrm{Ker}( \pi )

が成り立てばよく、このとき商写像Δ ⁣:C/NC/NC/N\overline{\Delta}\colon C/N\rightarrow C/N\otimes C/Nが定義される。またε ⁣:C/NR\overline{\varepsilon}\colon C/N\rightarrow Rを自然に定義するにはε(N)=0\varepsilon( N )=0でなければならない。

纏めよう。部分加群NCN\subset Cが以下の二条件を満たすときイデアルと言う。

  • Δ(N)Ker(π)\Delta( N )\subset\mathrm{Ker}( \pi )
  • ε(N)=0\varepsilon( N )=0

命題 (C,Δ,ε)( C, \Delta, \varepsilon )を余代数、NCN\subset Cをイデアルとする。このとき(C/N,Δ,ε)( C/N, \overline{\Delta}, \overline{\varepsilon} )は余代数である。

(証明)xNx\in NについてΔ(x)=i=1naibi\Delta( x )=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\otimes b_{i}とする。また

Δ(ai)=ji=1miujivji,Δ(bi)=ki=1lipkiqki\begin{aligned} \Delta( a_{i} )&=\sum_{j_{i}=1}^{m_{i}}u_{j_{i}}\otimes v_{j_{i}}, & \Delta( b_{i} )&=\sum_{k_{i}=1}^{l_{i}}p_{k_{i}}\otimes q_{k_{i}} \end{aligned}

とする。余代数の定義より

idΔ(Δ(x))=i=1naiji=1miujivji=i=1nji=1miaiujivji=Δid(Δ(x))=i=1nki=1lipkiqkibi\begin{aligned} \mathrm{id}\otimes\Delta( \Delta( x ) ) &= \sum_{i=1}^{n}a_{i}\otimes\sum_{j_{i}=1}^{m_{i}}u_{j_{i}}\otimes v_{j_{i}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j_{i}=1}^{m_{i}}a_{i}\otimes u_{j_{i}}\otimes v_{j_{i}} \\ &= \Delta\otimes\mathrm{id}( \Delta( x ) )=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k_{i}=1}^{l_{i}}p_{k_{i}}\otimes q_{k_{i}}\otimes b_{i} \end{aligned}

が成り立つ。従ってC×C×CC/NC/NC/NC\times C\times C\rightarrow C/N\otimes C/N\otimes C/Nを考えれば

i=1nji=1miaiujivji=i=1nki=1lipkiqkibi\sum_{i=1}^{n}\sum_{j_{i}=1}^{m_{i}}\overline{a_{i}}\otimes\overline{u_{j_{i}}}\otimes\overline{v_{j_{i}}}=\sum_{i=1}^{n}\sum_{k_{i}=1}^{l_{i}}\overline{p_{k_{i}}}\otimes\overline{q_{k_{i}}}\otimes\overline{b_{i}}

よりidΔΔ(x)=ΔidΔ(x)\mathrm{id}\otimes\overline{\Delta}\circ\overline{\Delta}( \overline{x} )=\overline{\Delta}\otimes\mathrm{id}\circ\overline{\Delta}( \overline{x} )が成り立つ。

ε\overline{\varepsilon}についても同様である。実際

idεΔ(x)=i=1naiε(bi)=x1\mathrm{id}\otimes\varepsilon\circ\Delta( x )=\sum_{i=1}^{n}a_{i}\otimes\varepsilon( b_{i} )=x\otimes 1

より、C×RC/NRC\times R\rightarrow C/N\otimes Rを考えれば

idεΔ(x)=i=1naiε(bi)=i=1naiε(bi)=x1\mathrm{id}\otimes\overline{\varepsilon}\circ\overline{\Delta}( \overline{x} )=\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}}\otimes\overline{\varepsilon}( \overline{b_{i}} )=\sum_{i=1}^{n}\overline{a_{i}}\otimes\varepsilon( b_{i} )=\overline{x}\otimes 1

を得る。もう一方も同様である。\square

上記の余代数(C/N,Δ,ε)( C/N, \overline{\Delta}, \overline{\varepsilon} )剰余余代数(quotient coalgebra)と呼ぶ。

補足

他の本だとイデアルの条件はΔ(N)CN+NC\Delta( N )\subset C\otimes N+N\otimes Cとなっていることがあるが、ややミスリードがある。というのも一般的な状況ではあるが、反例に近い例がある。

可換環RR上の加群M,NM, Nの部分加群M,NM^{\prime}, N^{\prime}について

π ⁣:MNM/MN/N\pi\colon M\otimes N\rightarrow M/M^{\prime}\otimes N/N^{\prime}

の核を考えたい。実はR=kR=kが体であるなら

Ker(π)=MN+MN\mathrm{Ker}( \pi )=M^{\prime}\otimes N+M\otimes N^{\prime}

が成り立つ。しかしRRが体でないときは、そもそもMNM^{\prime}\otimes NMNM\otimes N^{\prime}は、MNM\otimes Nに含まれるとは限らない。

例えばR=Z,M=Z,N=Z/2ZR=\mathbb{Z}, M=\mathbb{Z}, N=\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}とする。更にM=2Z,N=0M^{\prime}=2\mathbb{Z}, N^{\prime}=0とする。

  • MN=Z(Z/2Z)M\otimes N=\mathbb{Z}\otimes( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )の元はn1n\otimes 1の線型和となるが、31=11+21=113\otimes 1=1\otimes 1+2\otimes 1=1\otimes 1のように計算ができる。従ってゼロでない元は111\otimes 1しかない。
  • MN=2Z(Z/2Z)M^{\prime}\otimes N=2\mathbb{Z}\otimes( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )の元は同様に212\otimes 1しかない。
  • MN=0M\otimes N^{\prime}=0である。

このように、そもそも部分加群でない場合がある。

何が問題であったかというと、包含MMM^{\prime}\rightarrow Mから誘導されるα ⁣:MNMN\alpha\colon M^{\prime}\otimes N\rightarrow M\otimes Nが単射とは限らないことにある。R=kR=kが体の場合は平坦性より単射になる。あるいはベクトル空間の場合は基底が取れるので、テンソル積が、元の基底のテンソルを基底とするベクトル空間であることからも従う。NNN^{\prime}\rightarrow Nから誘導されるβ ⁣:MNMN\beta\colon M\otimes N^{\prime}\rightarrow M\otimes Nについても同様なことが言える。

一般のRRに戻ると、Im(α)+Im(β)Ker(π)\mathrm{Im}( \alpha )+\mathrm{Im}( \beta )\subset\mathrm{Ker}( \pi )は明白だが、実は逆の包含も次のように示される。まず双線型写像

M/M×N/NMN/(Im(α)+Im(β))M/M^{\prime}\times N/N^{\prime}\rightarrow M\otimes N/( \mathrm{Im}( \alpha )+\mathrm{Im}( \beta ) )

はwell-definedである。実際xM,yNx\in M, y\in N及びmM,nNm\in M^{\prime}, n\in N^{\prime}について

(x+m)(y+n)=xy+xn+my+mn( x+m )\otimes( y+n )=x\otimes y+x\otimes n+m\otimes y+m\otimes n

よりx+my+n=xy\overline{x+m}\otimes\overline{y+n}=\overline{x}\otimes\overline{y}を得る。従ってテンソル積の普遍性より

M/MN/NfMN/(Im(α)+Im(β))gMN/Ker(π)M/MN/NM/M^{\prime}\otimes N/N^{\prime}\xrightarrow{f} M\otimes N/( \mathrm{Im}( \alpha )+\mathrm{Im}( \beta ) )\xrightarrow{g} M\otimes N/\mathrm{Ker}( \pi )\xrightarrow{\cong}M/M^{\prime}\otimes N/N^{\prime}

を得る。生成元の対応を見るとxyxy\overline{x}\otimes\overline{y}\mapsto\overline{x}\otimes\overline{y}なので恒等写像である。故に上のffは単射である。またffの全射性もMNM\otimes Nの生成元を見れば明らかなのでffは同型となる。よってggも同型となり、結局

Im(α)+Im(β)=Ker(π)\mathrm{Im}( \alpha )+\mathrm{Im}( \beta )=\mathrm{Ker}( \pi )

であることが分かる。

先の例では2Z(Z/2Z)Z(Z/2Z)2\mathbb{Z}\otimes( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )\rightarrow\mathbb{Z}\otimes( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )は恒等的にゼロだから、Im(α)=0\mathrm{Im}( \alpha )=0となる。またN=0N^{\prime}=0よりIm(β)=0\mathrm{Im}( \beta )=0である。ところで

MN=Z(Z/2Z)={0,11}=(Z/2Z)(Z/2Z)=M/MN/NM\otimes N=\mathbb{Z}\otimes( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )=\lbrace 0, 1\otimes 1 \rbrace=( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )\otimes( \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} )=M/M^{\prime}\otimes N/N^{\prime}

より、確かにKer(π)=Im(α)+Im(β)\mathrm{Ker}( \pi )=\mathrm{Im}( \alpha )+\mathrm{Im}( \beta )である。

注意 イデアルの条件は

  • Δ(N)NC+CN\Delta( N )\subset\overline{N\otimes C}+\overline{C\otimes N}
  • ε(N)=0\varepsilon( N )=0

としてよい。ただし

NC:=Im(α),CN:=Im(β)\begin{aligned} \overline{N\otimes C}&:=\mathrm{Im}( \alpha ), & \overline{C\otimes N}&:=\mathrm{Im}( \beta ) \end{aligned}

は先に述べたα,β\alpha, \betaより定まるものとする。