半順序集合のIncidence Algebra

Author: mathmathniconico

Last Update: April 26, 2019

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Rotaの定理

(P0,)( P_{0}, \le )を半順序集合(partially ordered set, poset)とする。

P1:={[x,y]:x,yP0,xy}P_{1}:=\lbrace \lbrack x, y \rbrack : x, y\in P_{0}, x\le y \rbrace

と置けば、

s[x,y]=x,t[x,y]=y,[y,z][x,y]=[x,z]\begin{aligned} s\lbrack x, y \rbrack&=x, & t\lbrack x, y \rbrack&=y, & \lbrack y, z \rbrack\circ\lbrack x, y \rbrack&=\lbrack x, z \rbrack \end{aligned}

及び1x=(x,x)1_{x}=( x, x )(P0,P1,s,t,,1)( P_{0}, P_{1}, s, t, \circ, 1 )は小さな圏となる。

特に半順序集合が局所有限(xzyx\le z\le yなるzzは有限個)のとき、この小さな圏も局所有限であり、したがってincidence coalgebra PPやincidence algebra PdualP^{\mathrm{dual}}を定義できる。

半順序集合のincidence algebraで重要な性質は次の命題だろう。以下x,y\vert x, y \vert{z:xzy}\lbrace z : x\le z \le y \rbraceの元の個数を表す。

命題 以下が成り立つ。

  • x,x=1\vert x, x \vert=1である。
  • xz<yx\le z\lt yのときx,z<x,y\vert x, z \vert\lt\vert x, y \vertが成り立つ。
  • x<zyx\lt z\le yのときz,y<x,y\vert z, y \vert\lt\vert x, y \vertが成り立つ。

(証明)一つ目はxyxx\le y\le xならy=xy=xより明らか。二つ目もxtzx\le t\le zならxtyx\le t\le yだがtz<yt\le z\lt yよりtyt\neq yとなることから分かる。\square

定理(Rotaの定理) ϕPdual\phi\in P^{\mathrm{dual}}について以下は同値である。

  • ϕ\phiは可逆である。つまりあるψPdual\psi\in P^{\mathrm{dual}}が存在してϕψ=ψϕ=ε\phi\ast\psi=\psi\ast\phi=\varepsilonが成り立つ。
  • 任意のxP0x\in P_{0}についてϕ([x,x])R\phi( \lbrack x, x \rbrack )\in Rは可逆である。

(証明)ϕ\phiが可逆なら

ϕψ([x,x])=ϕ([x,x])ψ([x,x])=ε([x,x])=1\phi\ast\psi( \lbrack x, x \rbrack )=\phi( \lbrack x, x \rbrack )\psi( \lbrack x, x \rbrack )=\varepsilon( \lbrack x, x \rbrack )=1

よりϕ([x,x])\phi( \lbrack x, x \rbrack )は可逆である。逆はψ\psiを具体的に構成することで得られる。まずψ([x,x]):=ϕ([x,x])1\psi( \lbrack x, x \rbrack ):=\phi( \lbrack x, x \rbrack )^{-1}と置く。x<yx\lt yに対してはx,y\vert x, y \vertに関して帰納的に定義する。

ε([x,y])=(ϕψ)([x,y])=xzyϕ([x,z])ψ([z,y])\varepsilon( \lbrack x, y \rbrack )=( \phi\ast\psi )( \lbrack x, y \rbrack )=\sum_{x\le z\le y}\phi( \lbrack x, z \rbrack )\psi( \lbrack z, y \rbrack )

が成り立てばよいので、

ψ([x,y]):=ϕ([x,x])1xz<yϕ([x,z])ψ([z,y])\psi( \lbrack x, y \rbrack ):=-\phi( \lbrack x, x \rbrack )^{-1}\sum_{x\le z\lt y}\phi( \lbrack x, z \rbrack )\psi( \lbrack z, y \rbrack )

と置けばよい。これでϕ\phiの右側逆元ψR\psi_{R}の存在が言えたが、同様に左側逆元ψR\psi_{R}の存在も言える。両者が一致することは、良く知られているように

ψL=ψLε=ψLϕψR=εψR=ψR\psi_{L}=\psi_{L}\ast\varepsilon=\psi_{L}\ast\phi\ast\psi_{R}=\varepsilon\ast\psi_{R}=\psi_{R}

より従う。\square

メビウス函数

Rotaの定理の応用として任意の[x,y]P1\lbrack x, y \rbrack\in P_{1}z([x,y])=1\mathfrak{z}( \lbrack x, y \rbrack )=1を取る写像z\mathfrak{z}は可逆となる。この逆元μ:=z1Pdual\mu:=\mathfrak{z}^{-1}\in P^{\mathrm{dual}}PPメビウス函数と呼ぶ。このときいわゆるメビウス反転

Φ=ϕzϕ=Φμ\Phi=\phi\ast\mathfrak{z}\Longrightarrow \phi=\Phi\ast\mu

が成り立つ。つまり

Φ(f)=xzyϕ([x,z])ϕ(f)=xzyΦ([x,z])μ([z,y])\Phi( f )=\sum_{x\le z\le y}\phi( \lbrack x, z \rbrack )\Longrightarrow\phi( f )=\sum_{x\le z\le y}\Phi( \lbrack x, z \rbrack )\mu( \lbrack z, y \rbrack )

が成り立つ。

更にNNPPのイデアルとして、μ\muNN上で恒等的にゼロとする。このときμ(C/N)dual\mu\in( C/N )^{\mathrm{dual}}と見なせるが、これをC/NC/Nのメビウス函数と呼ぶ。

  • ε(N)=0\varepsilon( N )=0より1xN1_{x}\notin Nである。
  • z\mathfrak{z}(C/N)dual( C/N )^{\mathrm{dual}}の元ではない。

疑問 μ\muNN上で恒等的にゼロとなるか?

広義において、incidence coalgebraはその剰余余代数を含むとする。またincidence algebraは、上記の双対代数を含むとする。

補足

Rotaの定理は一般には成り立たない。というのも小さな圏がループを持っていたり、自分自身への射が複数存在すると帰納法が働かないので逆元を構成できない。命題で挙げた条件をうまい具合に翻訳できれば、もう少し良い形のRotaの定理が示せるだろうけどよく分からない。