押し出し・引き戻し・直積

Author: mathmathniconico

Last Update: June 29, 2019

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前節では集合XXを固定して、その上のfilterやprefilterについて考えた。ここでは写像f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Yに対するこれらの振る舞いを調べよう。またその応用としてfilterの直積を紹介する。

pushforwardとpullback

命題 X,YX, Yを集合とする。A⊂2X\mathscr{A}\subset 2^{X}をXXのprefilterとする。写像f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Yについて

fA:={f(V)⊂Y:V∈A}⊂2Yf\mathscr{A}:=\lbrace f( V )\subset Y : V\in\mathscr{A} \rbrace\subset 2^{Y}

はYYのprefilterとなる。

定義 特にA=F\mathscr{A}=\mathscr{F}がfilterのとき

f∗F:=⟨fF⟩f_{\ast}\mathscr{F}:=\langle f\mathscr{F} \rangle

をffによるF\mathscr{F}のpushforwardと呼ぶ。

命題 X,YX, Yを集合とする。B⊂2Y\mathscr{B}\subset 2^{Y}をYYのprefilterとする。写像f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Yについて、任意のB∈BB\in\mathscr{B}がf−1(B)≠∅f^{-1}( B )\neq\emptysetを満たすとする。このとき

f−1B:={f−1(W)⊂X:W∈B}⊂2Xf^{-1}\mathscr{B}:=\lbrace f^{-1}( W )\subset X : W\in\mathscr{B} \rbrace\subset 2^{X}

はXXのprefilterとなる。

定義 特にB=G\mathscr{B}=\mathscr{G}がfilterのとき

f∗G:=⟨f−1G⟩f^{\ast}\mathscr{G}:=\langle f^{-1}\mathscr{G} \rangle

をffによるG\mathscr{G}のpullbackと呼ぶ。

注意 f−1Bf^{-1}\mathscr{B}の方は、逆像が空でないという条件が必要である。

次に定義から従う素朴な性質を確認する。

命題 pushforwardは生成と可換である。即ち写像f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Y及びprefilterA⊂2X\mathscr{A}\subset 2^{X}に対して

f∗⟨A⟩=⟨fA⟩f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle=\langle f\mathscr{A} \rangle

が成り立つ。

（証明）f∗⟨A⟩⊃f⟨A⟩⊃fAf_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle \supset f\langle \mathscr{A} \rangle \supset f\mathscr{A}なので、生成の最小性よりf∗⟨A⟩⊃⟨fA⟩f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangle\supset\langle f\mathscr{A} \rangleが従う。よって逆を示せば良い。左辺から元を取りF∈f∗⟨A⟩F\in f_{\ast}\langle \mathscr{A} \rangleとする。定義よりG∈⟨A⟩G\in\langle \mathscr{A} \rangleが存在してf(G)⊂Ff( G )\subset Fと表せる。更に定義よりGGについてH∈AH\in\mathscr{A}が存在してH⊂GH\subset Gと表せる。よってf(H)⊂f(G)⊂Ff( H )\subset f( G )\subset FだからF∈⟨fA⟩F\in\langle f\mathscr{A} \rangleが分かる。□\square

命題 pushforwardは推移性を満たす。即ち写像f ⁣:X→Y,g ⁣:Y→Zf\colon X\rightarrow Y, g\colon Y\rightarrow Zの合成に対して

(g∘f)∗=g∗∘f∗( g\circ f )_{\ast}=g_{\ast}\circ f_{\ast}

が成り立つ。

命題 f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Yを写像とする。F⊂2X,G⊂2Y\mathscr{F}\subset 2^{X}, \mathscr{G}\subset 2^{Y}をそれぞれX,YX, Yのfilterとする。以下が成り立つ。

  • f∗Ff_{\ast}\mathscr{F}のpullbackは常に定義できてF⊂f∗(f∗F)\mathscr{F}\subset f^{\ast}( f_{\ast}\mathscr{F} )を満たす。
  • 任意のG∈GG\in\mathscr{G}がf−1(G)≠∅f^{-1}( G )\neq\emptysetを満たすなら（G\mathscr{G}のpullbackが定義できるなら）G⊂f∗(f∗G)\mathscr{G}\subset f_{\ast}( f^{\ast}\mathscr{G} )が成り立つ。

興味があるのは上の包含が等式となる条件だろう。次の二つの補題の系として得られる。

補題 写像が全射ならpushforwardはfilterの像と一致する。つまり全射f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Y及びfilterF⊂2X\mathscr{F}\subset 2^{X}に対して

f∗F=fFf_{\ast}\mathscr{F}=f\mathscr{F}

が成り立つ。

（証明）G∈f∗FG\in f_{\ast}\mathscr{F}とする。あるF∈FF\in\mathscr{F}が存在してf(F)⊂Gf( F )\subset Gが成り立つ。F⊂f−1(f(F))⊂f−1(G)F\subset f^{-1}( f( F ) )\subset f^{-1}( G )よりf−1(G)∈Ff^{-1}( G )\in\mathscr{F}である。ffは全射なのでG=f(f−1(G))∈fFG=f( f^{-1}( G ) )\in f\mathscr{F}を得る。□\square

写像が全射のときはpullbackは常に定義できる。

補題 写像が全単射ならpullbackはfilterの逆像と一致する。つまり全単射f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Y及びfilterG⊂2Y\mathscr{G}\subset 2^{Y}に対して

f∗G=f−1Gf^{\ast}\mathscr{G}=f^{-1}\mathscr{G}

が成り立つ。特にf−1Gf^{-1}\mathscr{G}はfilterである。

系 f ⁣:X→Yf\colon X\rightarrow Yを全単射とする。φX,φY\varphi X, \varphi YをX,YX, Yのfilter全体の集合とする。このとき

f∗∘f∗=idφX,f∗∘f∗=idφY\begin{aligned} f^{\ast}\circ f_{\ast}&=\mathrm{id}_{\varphi X}, & f_{\ast}\circ f^{\ast}&=\mathrm{id}_{\varphi Y} \end{aligned}

が成り立つ。

filterの直積

命題 X,YX, Yを集合とする。A⊂2X,B⊂2Y\mathscr{A}\subset 2^{X}, \mathscr{B}\subset 2^{Y}をそれぞれのprefilterとする。

A×B={A×B:A∈A,B∈B}⊂2X×Y\mathscr{A}\times\mathscr{B}=\lbrace A\times B : A\in\mathscr{A}, B\in\mathscr{B} \rbrace\subset 2^{X\times Y}

はX×YX\times Yのprefilterとなる。

定義 特にA=F,B=G\mathscr{A}=\mathscr{F}, \mathscr{B}=\mathscr{G}がfilterのとき

F∏G:=⟨F×G⟩\mathscr{F}\prod\mathscr{G}:=\langle \mathscr{F}\times\mathscr{G} \rangle

をF\mathscr{F}とG\mathscr{G}の直積フィルター（product filter）と呼ぶ。

射影は全射なので、filterのpushforwardはその像と一致する。例えば射影πX ⁣:X×Y→X\pi_{X}\colon X\times Y\rightarrow XとX×YX\times Yのfilter F⊂2X×Y\mathscr{F}\subset 2^{X\times Y}についてπXF⊂2X\pi_{X}\mathscr{F}\subset 2^{X}はXXのfilterである。

注意 有限直積に対しても同様に定義できて、本質的に同じfilterを定める。ただし一般の添え字集合について直積は考えない。prefilterの積がprefilterになるとは限らないためである。

以下は基本的な操作である。

  • prefilter A⊂2X,B⊂2Y\mathscr{A}\subset 2^{X}, \mathscr{B}\subset 2^{Y}についてA=πX(A×B),B=πY(A×B)\mathscr{A}=\pi_{X}( \mathscr{A}\times\mathscr{B} ), \mathscr{B}=\pi_{Y}( \mathscr{A}\times\mathscr{B} )が成り立つ。
  • filter F⊂2X,G⊂2Y\mathscr{F}\subset 2^{X}, \mathscr{G}\subset 2^{Y}についてF⊂πX(F∏G),G⊂πY(F∏G)\mathscr{F}\subset\pi_{X}( \mathscr{F}\prod\mathscr{G} ), \mathscr{G}\subset\pi_{Y}( \mathscr{F}\prod\mathscr{G} )が成り立つ。

命題 A⊂2X×Y\mathscr{A}\subset 2^{X\times Y}をprefilterとする。πX,πY\pi_{X}, \pi_{Y}を射影とする。このとき

πXA×πYA⊣A\pi_{X}\mathscr{A}\times\pi_{Y}\mathscr{A}\dashv\mathscr{A}

が成り立つ。特にA=F\mathscr{A}=\mathscr{F}がfilterのとき

πXF∏πYF⊂F\pi_{X}\mathscr{F}\prod\pi_{Y}\mathscr{F}\subset\mathscr{F}

が成り立つ。

（証明）A,B∈AA, B\in\mathscr{A}とする。あるC∈AC\in\mathscr{A}が存在してC⊂A∩BC\subset A\cap Bを満たす。A∩B⊂πX(A)×πY(B)A\cap B\subset\pi_{X}( A )\times\pi_{Y}( B )より従う。□\square