フィルター空間

Author: mathmathniconico

Last Update: June 29, 2019

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フィルター空間は最も基本的な収束構造の一つであり、最も基本的な形で写像の連続性を定義することができる。フィルター空間を集めたものは連続写像を射とする圏を成す。この圏はcartesian閉である。つまり終対象・直積対象・冪対象を持つ。

フィルター空間

定義 XXを集合とする。任意のxXx\in Xに対してXXのfilterからなる集合λ(x)\lambda( x )が与えられており、以下の2条件を満たすとする。

  • xλ(x)\langle x \rangle\in\lambda( x )である。
  • filter F,G2X\mathscr{F}, \mathscr{G}\subset 2^{X}について、FG\mathscr{F}\subset\mathscr{G}かつFλ(x)\mathscr{F}\in\lambda( x )ならGλ(x)\mathscr{G}\in\lambda( x )が成り立つ。

このとき(X,λ)( X, \lambda )で表される組をフィルター空間(filter space)、あるいはフィルター場と呼ぶ。

λ\lambdaをフィルターと点の関係とみなしてFλ(x)\mathscr{F}\in\lambda( x )Fx\mathscr{F}\rightarrow xと表すと便利である。この記法の下でフィルター空間を単にXXなどと表す。xxF\mathscr{F}の極限点(limit point)と呼ぶこともある。

定義 X,YX, Yをフィルター空間、xXx\in Xとする。写像f ⁣:XYf\colon X\rightarrow Yは以下を満たすとする。

  • 任意のfilter F2X\mathscr{F}\subset 2^{X}に対して、Fx\mathscr{F}\rightarrow xならfFf(x)f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( x )が成り立つ。

このときffxxで連続(continuous)であるという。任意のxXx\in Xで連続のときffは連続であるという。

  • idX\mathrm{id}_{X}は連続である。
  • f ⁣:XY,g ⁣:YXf\colon X\rightarrow Y, g\colon Y\rightarrow Xが連続ならgf ⁣:XZg\circ f\colon X\rightarrow Zも連続である。

注意 圏論的な意味での終対象は、一点集合とその生成する点フィルターからなるフィルター空間({},λ()=)( \lbrace \ast \rbrace, \lambda( \ast )=\langle \ast \rangle )である。

フィルター空間の直積

命題 X,YX, Yをフィルター空間とする。(x,y)X×Y( x, y )\in X\times Y及びfilter F2X×Y\mathscr{F}\subset 2^{X\times Y}に対して、F(x,y)\mathscr{F}\rightarrow ( x, y )を以下で定める。

  • 射影πX,πY\pi_{X}, \pi_{Y}についてπXFx\pi_{X}\mathscr{F}\rightarrow xかつπYFy\pi_{Y}\mathscr{F}\rightarrow yが成り立つ。

このときX×YX\times Yはフィルター空間となる。

(証明)まずF:=(x,y)(x,y)\mathscr{F}:=\langle ( x, y ) \rangle\rightarrow ( x, y )を示す。xAX,yBYx\in A\subset X, y\in B\subset Yに対して(x,y)A×B( x, y )\in A\times BよりA×BFA\times B\in\mathscr{F}である。よってAπXF,BπYFA\in\pi_{X}\mathscr{F}, B\in\pi_{Y}\mathscr{F}が分かる。つまりxπXF,yπYF\langle x \rangle\subset\pi_{X}\mathscr{F}, \langle y \rangle\subset\pi_{Y}\mathscr{F}であり、フィルター空間の定義よりπXFx,πYFy\pi_{X}\mathscr{F}\rightarrow x, \pi_{Y}\mathscr{F}\rightarrow yを得る。

filter F,G2X×Y\mathscr{F}, \mathscr{G}\subset 2^{X\times Y}及び(x,y)X( x, y )\in XについてF(x,y),FG\mathscr{F}\rightarrow ( x, y ), \mathscr{F}\subset\mathscr{G}とする。G(x,y)\mathscr{G}\rightarrow ( x, y )であることは、πXFπXG\pi_{X}\mathscr{F}\subset\pi_{X}\mathscr{G}及びπYFπYG\pi_{Y}\mathscr{F}\subset\pi_{Y}\mathscr{G}より直ちに分かる。\square

定義 上記のフィルター空間をX,YX, Yの直積空間という。

命題 X,YX, Yをフィルター空間とする。XXにおいてFx\mathscr{F}\rightarrow xYYにおいてGy\mathscr{G}\rightarrow yならX×YX\times YにおいてFG(x,y)\mathscr{F}\prod\mathscr{G}\rightarrow( x, y )が成り立つ。

(証明)射影をπX,πY\pi_{X}, \pi_{Y}とする。FπX(FG),G(FG)\mathscr{F}\subset\pi_{X}( \mathscr{F}\prod\mathscr{G} ), \mathscr{G}\subset( \mathscr{F}\prod\mathscr{G} )よりπX(FG)x,πY(FG)y\pi_{X}( \mathscr{F}\prod\mathscr{G} )\rightarrow x, \pi_{Y}( \mathscr{F}\prod\mathscr{G} )\rightarrow yが成り立つ。定義よりFG(x,y)\mathscr{F}\prod\mathscr{G}\rightarrow( x, y )である。\square

さて、この直積空間が圏論的な意味で直積対象となっていることを示そう。射影が連続なことは定義より明らかなので、次の普遍性を示せば良い。

定理 X,Y,ZX, Y, Zをフィルター空間とする。連続写像f ⁣:ZX,g ⁣:ZYf\colon Z\rightarrow X, g\colon Z\rightarrow Yについて、ある連続写像h ⁣:ZX×Yh\colon Z\rightarrow X\times Yが一意的に存在してf=πXh,g=πYhf=\pi_{X}\circ h, g=\pi_{Y}\circ hを満たす。

(証明)h(z):=(f(z),g(z))h( z ):=( f( z ), g( z ) )と置く。hhが連続であることを示せば良い。ZZにおいてFz\mathscr{F}\rightarrow zとする。f,gf, gは連続なのでfFf(z)f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( z )かつgFg(z)g_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow g( z )が成り立つ。fF=πX(hF),gF=πY(hF)f_{\ast}\mathscr{F}=\pi_{X}( h_{\ast}\mathscr{F} ), g_{\ast}\mathscr{F}=\pi_{Y}( h_{\ast}\mathscr{F} )より、hF(f(z),g(z))h_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow ( f( z ), g( z ) )を得る。一意性は定義より明らかである。\square

つまり直積空間の収束構造は射影を連続とする最大のものである。

連続写像の空間

定義 X,YX, Yをフィルター空間とする。XXからYYへの連続写像全体をC(X,Y)C( X, Y )で表す。

以下に示すように、このC(X,Y)C( X, Y )に収束構造を入れることができる。これは例えば一般の位相空間などでは不可能なことが知られている。この意味でフィルター空間の圏は位相空間の圏より閉じており扱いやすい。

F\mathscr{F}C(X,Y)C( X, Y )のfilterとする。A\mathscr{A}XXのfilterとする。FF,AAF\in\mathscr{F}, A\in\mathscr{A}について

FA:={f(a):fF,aA}YF\cdot A:=\lbrace f( a ) : f\in F, a\in A \rbrace\subset Y

と定める。このとき

{FA:FF,AA}2Y\lbrace F\cdot A : F\in\mathscr{F}, A\in\mathscr{A} \rbrace\subset 2^{Y}

YYのprefilterとなる。この生成するYYのfilterをFA\mathscr{F}\cdot\mathscr{A}で表す。

命題 X,YX, Yをフィルター空間とする。C(X,Y)C( X, Y )のfilter F\mathscr{F}及び連続写像f ⁣:XYf\colon X\rightarrow Yについて、Ff\mathscr{F}\rightarrow fを以下で定める。

  • XXにおいてAx\mathscr{A}\rightarrow xなら、YYにおいてFAf(x)\mathscr{F}\cdot\mathscr{A}\rightarrow f( x )である。

このときC(X,Y)C( X, Y )はフィルター空間となる。

(証明)まずff\langle f \rangle\rightarrow fを示そう。XXにおいてAx\mathscr{A}\rightarrow xとする。fAf(x)\langle f \rangle\cdot\mathscr{A}\rightarrow f( x )を示したい。ffは連続なのでfAf(x)f_{\ast}\mathscr{A}\rightarrow f( x )である。よってprefilterとしての大小

fA{FA:Ff,AA}f\mathscr{A}\dashv\lbrace F\cdot A : F\in\langle f \rangle, A\in\mathscr{A} \rbrace

を示せば良い。しかしこれはAAA\in\mathscr{A}について

f(A)={f(a):aA}{g(a):gF,aA}=FAf( A )=\lbrace f( a ) : a\in A \rbrace\subset\lbrace g( a ) : g\in F, a\in A \rbrace=F\cdot A

より分かる。

次にFf,FG\mathscr{F}\rightarrow f, \mathscr{F}\subset\mathscr{G}としてGf\mathscr{G}\rightarrow fを示そう。XXにおいてAx\mathscr{A}\rightarrow xとする。GAf(x)\mathscr{G}\cdot\mathscr{A}\rightarrow f( x )を示したい。同様にprefilterとしての大小

{FA:FF,AA}{GA:GG,AA}\lbrace F\cdot A : F\in\mathscr{F}, A\in\mathscr{A} \rbrace\dashv\lbrace G\cdot A : G\in\mathscr{G}, A\in\mathscr{A} \rbrace

を示せばよいが、FG\mathscr{F}\subset\mathscr{G}より包含関係になる。GAFAf(x)\mathscr{G}\cdot\mathscr{A}\supset\mathscr{F}\cdot\mathscr{A}\rightarrow f( x )よりGAf(x)\mathscr{G}\cdot\mathscr{A}\rightarrow f( x )である。\square

定義 上記のフィルター空間をXXからYYへの連続写像空間と呼ぶ。

この連続写像空間が圏論的な意味で冪対象となっていることを示そう。そのためにはまず、連続写像空間における収束を、評価写像を用いて書き下しておくと便利である。

評価写像eval ⁣:C(X,Y)×XY\mathrm{eval}\colon C( X, Y )\times X\rightarrow Yとは、fC(X,Y),xXf\in C( X, Y ), x\in Xについてeval(f,x)=f(x)\mathrm{eval}( f, x )=f( x )で定まる写像である。

補題 X,YX, Yをフィルター空間とする。eval\mathrm{eval}を評価写像とする。TFAE

  • C(X,Y)C( X, Y )においてFf\mathscr{F}\rightarrow fである。
  • XXにおいてAx\mathscr{A}\rightarrow xなら、YYにおいてeval(FA)f(x)\mathrm{eval}_{\ast}( \mathscr{F}\prod\mathscr{A} )\rightarrow f( x )である。

特に評価写像は連続である。

(証明)Ff,Ax\mathscr{F}\rightarrow f, \mathscr{A}\rightarrow xとする。

eval(FA)=evalF×A=eval(F×A)={eval(F×A):FF,AA}={FA:FF,AA}=FA\begin{aligned} \mathrm{eval}_{\ast}( \mathscr{F}\prod\mathscr{A} )&=\mathrm{eval}_{\ast}\langle \mathscr{F}\times\mathscr{A} \rangle \\ &=\langle \mathrm{eval}( \mathscr{F}\times\mathscr{A} ) \rangle \\ &=\langle \lbrace \mathrm{eval}( F\times A ) : F\in\mathscr{F}, A\in\mathscr{A} \rbrace \rangle \\ &=\langle \lbrace F\cdot A : F\in\mathscr{F}, A\in\mathscr{A} \rbrace \rangle \\ &=\mathscr{F}\cdot\mathscr{A} \end{aligned}

よりeval(FA)f(x)\mathrm{eval}_{\ast}( \mathscr{F}\prod\mathscr{A} )\rightarrow f( x )が分かる。逆も上の等式より明らかである。

C(X,Y)×XC( X, Y )\times XにおいてH(f,x)\mathscr{H}\rightarrow ( f, x )とする。射影をπ1,π2\pi_{1}, \pi_{2}とするとπ1Hf,π2Hx\pi_{1}\mathscr{H}\rightarrow f, \pi_{2}\mathscr{H}\rightarrow xである。よってeval(π1Hπ2H)f(x)\mathrm{eval}_{\ast}( \pi_{1}\mathscr{H}\prod\pi_{2}\mathscr{H} )\rightarrow f( x )が成り立つ。π1Hπ2HH\pi_{1}\mathscr{H}\prod\pi_{2}\mathscr{H}\subset\mathscr{H}よりevalHf(x)\mathrm{eval}_{\ast}\mathscr{H}\rightarrow f( x )を得る。故にeval\mathrm{eval}は連続である。\square

次の普遍性を示せば良い。

命題 X,Y,ZX, Y, Zをフィルター空間とする。連続写像f ⁣:Z×XYf\colon Z\times X\rightarrow Yについて、連続写像λf ⁣:ZC(X,Y)\lambda f\colon Z\rightarrow C( X, Y )が一意的に存在してf=eval(λf×idX)f=\mathrm{eval}\circ ( \lambda f\times\mathrm{id}_{X} )を満たす。

(証明)zZz\in Zとする。写像fz ⁣:XYf_{z}\colon X\rightarrow YxXx\in Xに対してfz(x):=f(z,x)f_{z}( x ):=f( z, x )で定める。このときfzf_{z}は連続写像である。実際、XXにおいてFx\mathscr{F}\rightarrow xとすると、zz\langle z \rangle\rightarrow zよりG:=zF(z,x)\mathscr{G}:=\langle z \rangle\prod\mathscr{F}\rightarrow( z, x )が成り立つ。ffは連続なのでfGf(z,x)f_{\ast}\mathscr{G}\rightarrow f( z, x )となる。FfGF\in f_{\ast}\mathscr{G}を取ると、あるGGG\in\mathscr{G}が存在してf(G)Ff( G )\subset Fが成り立つ。GGG\in\mathscr{G}より、あるAz,BFA\in\langle z \rangle, B\in\mathscr{F}が存在してA×BGA\times B\subset Gが成り立つ。特に{z}×BG\lbrace z \rbrace\times B\subset Gである。故にFf(G)fz(B)F\supset f( G )\supset f_{z}( B )を得るのでF(fz)FF\in ( f_{z} )_{\ast}\mathscr{F}が分かる。以上よりfzf_{z}が連続であること、(fz)Ff(z,x)( f_{z} )_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f( z, x )が示された。

λf ⁣:ZC(X,Y)\lambda f\colon Z\rightarrow C( X, Y )zfzz\mapsto f_{z}と定めればよい。これが合成の条件を満たすことは明らかである。一意性もλf\lambda fの定義より明らかなので、後は連続性を示せば良い。ZZにおいてFz\mathscr{F}\rightarrow zとする。λfFfz\lambda f_{\ast}\mathscr{F}\rightarrow f_{z}を示すには、補題よりXXにおいてAx\mathscr{A}\rightarrow xとしてeval(λfFA)fz(x)\mathrm{eval}_{\ast}( \lambda f_{\ast}\mathscr{F}\prod\mathscr{A} )\rightarrow f_{z}( x )を示せば良い。しかしeval(λfFA)=f(FA)\mathrm{eval}_{\ast}( \lambda f_{\ast}\mathscr{F}\prod\mathscr{A} )=f_{\ast}( \mathscr{F}\prod\mathscr{A} )なのでffの連続性より従う。\square